余弦相似度与点积：向量归一化的影响

向量检索里，点积和余弦相似度经常一起出现。余弦相似度会按向量长度归一化；当两个向量都已具有单位长度时，它才与点积一致。

浅色主题概念配图，选自本站AI生成图库；非事件现场或产品实测截图。

用二维向量看清尺度影响

自拟向量a为3、4，b为6、8。二者方向相同，余弦相似度为1，但原始点积是50。把它们分别除以自身长度后，点积才成为1。下面只是数学练习，不代表真实文本相似度结果。

归一化前检查零向量

长度为零时不能按普通公式直接相除，应按照所用库和业务的明确规则处理。也要核对索引与查询使用的模型和预处理，不能因为两种距离在某个例子相同就随意更换系统配置。

记录比较使用的度量

本站建议评估时同时记录模型、是否归一化和距离类型。归一化改变了长度信息的作用，是否适合任务需要验证。余弦分数仍不是答案正确的概率，最终证据应回到原文。

可以运行的练习

from math import sqrt, isclose
a, b = [3, 4], [6, 8]
def dot(x, y):
    return sum(i * j for i, j in zip(x, y, strict=True))
def unit(x):
    length = sqrt(dot(x, x))
    if length == 0:
        raise ValueError("zero vector")
    return [i / length for i in x]
assert dot(a, b) == 50
assert isclose(dot(unit(a), unit(b)), 1.0)
try:
    unit([0, 0])
except ValueError:
    print("零向量已拒绝")
else:
    raise AssertionError("边界检查失败")

示例已在本地隔离环境运行检查。使用固定输入，不访问外部接口，也不读取真实业务文件。